Função Quadrática ou de 2º grau

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Esta Aula pertence ao Curso de Funções Matemáticas  oferecido pela Ensino Nacional

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FUNÇÃO QUADRÁTICA
Chamamos de função polinomial de segundo grau ou função quadrática toda a operação matemática que obedece à formula f(x): ax² + bx + c e onde a, b e c são números reais e a é diferente de zero.
É chamada de “segundo grau” porque o grau de uma função é definido pelo maior valor da potência (nesse caso 2), a que as variáveis estão elevadas. Como nesse caso é ao quadrado, chama-se função quadrática ou de segundo grau.

Veja alguns exemplos de funções quadráticas ou de segundo grau:
f(x): 2x² + 7x – 3 (a= 2, b= 7 e c= -3)
f(x): – x2 + 8x (a = -1, b = 8 e c = 0)
f(x) = 5×2 -1, (a = 5, b = 0 e c = -1)
f(x) = -4×2, (a = – 4, b = 0 e c = 0)

CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS
As funções quadráticas são aplicadas de diversas formas no cotidiano. Geralmente em física, para análise de movimento uniformemente variado e lançamento oblíquo (trajetória de objetos). São usadas também em Administração e Contabilidade, para relacionar receitas custos e lucros, na biologia, para estudar a fotossíntese das planas, na construção civil e na arquitetura, entre outras.

A característica básica dessa função é que sua representação gráfica nos eixos x e y se dá com uma parábola, ou seja, uma curva plana. Essa curva passa pelo eixo x (horizontal) em dois pontos, chamados de raízes. O auge da curva é chamado de vértice. A parábola pode ou não passar pelo eixo y (vertical).
Se o valor de “a” for positivo, a concavidade da parábola é virada para cima. Se o valor de a for menor que zero, a abertura da parábola é virada para baixo.

O valor de c, quando existe, indica em que número a linha da parábola passará pelo eixo y.
Para calcular uma função de segundo grau, chamamos f(x) de y. Então, nos cálculos, ficará y = ax² + bx + c. Geralmente, o valor de f(x) é considerado zero, já que o objetivo é descobrir o valor de x. Então, por exemplo, para descobrir as raízes da função: f(x) = -x² +3x, => -x² +3x = 0.

Os resultados, ou seja, as duas raízes, os valores de x, são chamados também de delta (representados pela letra grega em forma de triângulo).

Quando delta é positivo, há duas raízes reais e distintas (parábola encosta o eixo x em dois pontos diferentes).
Quando delta é zero, há apenas uma raiz real (parábola encosta o eixo x em apenas um ponto).
Quando delta é negativo, não há raízes reais (parábola não encosta no eixo x).

Para descobrir os valores de x, usa-se a Fórmula de Bhaskara:
x=(-b ± √(b²  – 4ac))/2a
Este cálculo é chamado também de equação quadrática, mas é mais conhecido como Fórmula de Bhaskara. O que está dentro da raiz quadrada é também chamado de delta.
Bhaskara Akaria ou Bhaskara II foi um matemático indiano que viveu aproximadamente entre 1114 e 1185. Era de uma família de astrólogos e dedicou-se a pesquisar os planetas e eclipses. Foi um dos mais importantes matemáticos do século XII. Fez estudos sobre aritmética e geometria plana.

Vértice
É o auge da curva da parábola. Pode ser o ponto mais alto da parábola, se o a for negativo (curva aberta para baixo) ou o ponto mais baixo, se o a for positivo (curva aberta para cima).

As funções quadráticas com a < 0 têm um valor máximo. As funções com a > 0 têm um valor mínimo.
O vértice é um ponto no gráfico cartesiano, portanto tem dois valores para ser calculado: x e y. Para calcular a abscissa (x) do vértice, usa-se a fórmula: -b/2a. Para calcular a ordenada (y) do vértice, usa-se: -delta / 4a.
No caso de o função quadrática definir o movimento de um objeto, por exemplo, o vértice da parábola seria a altura máxima alcançada pelo objeto. Em exercícios matemáticos, o vértice pode ser usado para representar diversas grandezas dependendo do contexto do problema proposto. O vértice sempre está à mesma distância de cada uma das raízes.

Muitos exercícios de matemática propostos em provas, concursos e vestibulares dependem tanto de interpretação quanto de cálculo. Por isso é muito importante prestar atenção aos enunciados das questões para saber a melhor forma de conseguir o resultado.

Por exemplo:
Uma bola foi lançada verticalmente para cima a partir do solo. A relação entre a altura h da bola em relação ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos) respeita a equação h(t) = -5t² + 10t.
Perceba que é uma função incompleta, pois não apresenta a variável c.

A partir do lançamento, depois de quantos segundos a bola alcançará a sua altura máxima?
No enunciado da função, o tempo está representado no eixo x.
Então a resposta para a pergunta está no x do vértice.
x_v = (-b)/2a  = (-10)/(2 ×(-5)) = (-10)/(-10)  =  1 segundo

Qual é a altura máxima atingida pela bola?
A altura (h) está representada pelo eixo y, então para saber a resposta precisamos calcular o y do vértice.
y_v = (-∆)/4a = (- (〖10〗^2 -4 ×(-5)×0))/(4 ×(-5)) = (-100)/(-20) = 5 metros

DIFERENÇA ENTRE EQUAÇÃO E FUNÇÃO
Numa equação, independentemente do grau, há um valor fixo ao qual uma variável, o x, é igualada. Há apenas um resultado possível. Por exemplo: x + 1 = 4. Então, x só pode ser 3, porque já sabemos que o resultado é 4.
Já numa função, há duas variáveis, o x e o f(x). Não há valor fixo, porque para qualquer valor assumido por x, haverá um resultado diferente para f(x). Por exemplo: f(x) = x + 1, para x = 2, temos f(x) = 3; para x = 3, temos f(x) = 4…

Na equação, está estabelecido o número que se deseja obter, o resultado é fixo.
Já na função, o resultado não é fixo e pode-se aplicar qualquer valor para x para que se obtenha diferentes valores para f(x). Ou seja, o valor de f(x) está em função do valor de x.
Para resolver uma equação, basta isolar o x. Para resolver uma função, usa-se a Fórmula de Bhaskara.

FÓRMULA DE BHASKARA
Este cálculo, como já vimos, serve para descobrir as duas raízes da função quadrática.
Vamos resolver um exercício de função quadrática usando a Fórmula de Bhaskara.

Exemplo:
Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.
Resolução: Quando a parábola passa pelo eixo x, seu valor no eixo y é zero. Então: f(x) = 0
Para resolver essa função, podemos usar a Fórmula de Bhaskara de forma parcial, já que nosso objetivo é descobrir o delta.
Δ = b^2- 4ac  =>   Δ = (-3)² – 4 × 2 × 1     =>     Δ = 9-8     =>     Δ = 1

Sabendo-se o valor de Δ, pode-se calcular o valor das raízes com a equação:
x=(-b ± √Δ)/2a
x=(-b ± √Δ)/2a    =>    x = (-(-3)± √1)/(2 ×2)      =>      x = (3 ±1)/4

Assim podemos obter o valor de cada raiz (uma com cada sinal da equação):
x_I = (3+1)/4  = 1             => x_I  = 1
x_II = (3-1)/4 = 2/4 = 1/2       => x_II = 1/2

Lembre-se:
Quando delta (Δ) é positivo, há duas raízes reais e distintas.
Quando delta (Δ) é zero, há apenas uma raiz real.
Quando delta (Δ) é negativo, não há raízes reais.
Com delta (Δ) negativo, não significa que não há gráfico da função, mas sim que ele não tem contato com nenhum dos eixos.

Comentários

  1. Eu consegui terminar meu TCC em menos de 2 semanas utilizando esse esquema de separação em blocos. Vale a pena ver o vídeo

  2. Cícero Morais da Silva

    Gostei muito das explicações. Me ajudou muito.

    • Danyllo Rodrigues

      Obrigado Cícero! É um prazer poder ajudar, precisando de algo estamos à disposição!

  3. Interessante.

  4. Marco pasinatto

    NUNCA FUI DE COMENTAR NESSAS COISAS, mas parabéns pelo trabalho! Vcs me ajudaram de mais, sanaram todas as minhas dúvidas!! OBRIGADOO!!! Recomendo

    • Danyllo Rodrigues

      Obrigado pelas palavras Marco, é um prazer poder ajudar, qualquer dúvida estamos a disposição!

  5. Talita

    Realmente, concordo com os comentários anteriores. Muito bem explicado! Parabéns!!

    • Danyllo Rodrigues

      Agradecemos as palavras Talita! Estamos à disposição!

  6. januario luis

    os meus companheiros ja disseram tudo,,defacto esta bem explicado, muito agradecido.

    • Danyllo Rodrigues

      Bom dia Januario, nós é quem agradecemos o reconhecimento, ficamos gratos de poder auxiliar em seus estudos!

  7. Hilário Vasco Manhiça Hila

    Wuooo muito obrigado mesmo, isso me ajudou bastante. Eu amo matemática por isso ki não demorei entender isso, só estava com algumas dúvidas.
    Obrigado

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