Potenciação

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Esta Aula pertence ao Curso de Matemática para o Ensino Fundamental  oferecido pela Ensino Nacional

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O QUE É POTENCIAÇÃO?
É a multiplicação em série de um número por ele mesmo. É representada da seguinte maneira: 3², que significa 3 × 3. Neste caso, 3 representa a base e 2 é chamado de expoente e 3² ou 9 (o resultado da multiplicação) é a potência.

A representação generalizada é: em que

• a = base
• n = expoente
• P = potência

O expoente indica a quantidade de vezes que a base será multiplicada por ela mesma.

No caso da nomenclatura de 3² (três ao quadrado) diz-se também que 3 está elevado a segunda potência ou que 3² é a segunda potência de 3. A potenciação serve para simplificar cálculos com números extensos.

EXEMPLOS COTIDIANOS

“Para um jogo, cada um dos 6 meninos tem 6 sacos com 6 bolas de gude. Quantas bolas de gude há no total?” Esse cálculo é 6³, ou seja 6 × 6 × 6. Ou seja, há 216 bolas de gude.

“Em um edifício com 5 andares, há 5 apartamentos por andar. Em cada apartamento vivem 5 pessoas e cada uma delas tem 5 eletrodomésticos. No total, quantos eletrodomésticos há no edifício?”

5 × 5 × 5 × 5 = = 625 eletrodomésticos. Há 625 eletrodomésticos no edifício.

“Qual é o volume de um cubo com 4cm de aresta?”
Sabendo que o volume de um cubo é calculado pelo valor do produto de suas três dimensões, significa que: 4³ = 4 × 4 × 4 = 64cm³

Perceba a diferença entre 5 + 2² e (5+2)². No primeiro caso, apenas o 2 está elevado ao quadrado. No segundo caso, o uso dos parênteses indica que a expressão em seu interior deve ser resolvida antes da potenciação. Quando não há parênteses, a potenciação é a primeira operação a ser realizada em um cálculo. Veja a diferença nos resultados:

•  5 + 2² = 5 + 4 = 9
•  (5+2)² = 7 × 7 = 49

PROPRIEDADES
Conheça as propriedades das potências! Elas podem ajudar em cálculos com mais de uma potência, simplificando-as. Saiba qual é a relação de equivalência entre elas. Aprenda a simplificar cálculos usando as propriedades das potências!

Multiplicação de potências de mesma base
Para simplificar os cálculos, mantém-se a base e somam-se os expoentes

Divisão de potências de mesma base
Para facilitar os cálculos, mantém-se a base e diminui os expoentes

Multiplicação de potências de mesmo expoente
Conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases: 2³ × 3³ = 6³. Pode-se fazer isso porque há uma relação de igualdade na multiplicação de potências de mesmo expoente

Divisão de potências de mesmo expoente
A relação na divisão potências com o mesmo expoente é:
Ou seja, conservam-se os expoentes e dividem-se as bases: 3³.

Potência da potência
Há uma igualdade para a resolução de potência de potência. Pode-se tanto resolver primeiro o que há entre parênteses para depois elevar ao número que está fora do parênteses como pode-se também multiplicar os expoentes. O resultado será o mesmo. Exemplo: (2²)³

OUTRAS PROPRIEDADES
Potência de expoente fracionário
Quando há uma potência com expoente fracionário, ela é transformada em radical da seguinte maneira

Potência de expoente negativo
Quando o expoente é um número negativo, o resultado é o inverso do número elevado ao oposto do expoente

Potência de base negativa
Se o expoente for par, o resultado sempre fica positivo: (-2)² = 4.
Se o expoente for ímpar, o resultado fica negativo: (-2)³ = -8.

Potências com expoente 0:
Qualquer número elevado à potência 0 é igual a 1: 8 na 0 = 1.

Potências com expoente 1:
Qualquer número elevado à potência 1 é igual a ele mesmo: 6¹ = 6.

SIMPLIFICAR COM O USO DAS PROPRIEDADES
Aprenda a simplificar cálculos usando as propriedades das potências!

Multiplicação de potências com a mesma base 

Multiplicação de potências com o mesmo expoente

Divisão de potências com a mesma base

Divisão de potências com o mesmo expoente
O expoente é conservado e é efetuada a divisão com as bases, mesmo que resulte em fração.

Potência de expoente fracionário
O inverso também pode ser feito: a raiz pode se transformar em potência com expoente fracionário.

Potência com expoente negativo

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