Regra de Três

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Esta Aula pertence ao Curso de Matemática para Concursos  oferecido pela Ensino Nacional

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REGRA DE TRÊS

INTRODUÇÃO
É um tipo de cálculo usado para encontrar a proporcionalidade entre grandezas. É uma relação de proporção usada também em Física e Química para conversão de grandezas como volume e área, por exemplo. Pode ser diretamente proporcional ou inversamente proporcional.

Pode-se usar a regra de três para calcular várias coisas no dia a dia. Por exemplo, se você precisa fazer um bolo e sabe que precisa de um ovo para cada 100 gramas de farinha. Quantos ovos seriam necessários se você usasse 500 gramas de farinha?

Para montar este cálculo simples, usando regra de três, seria assim:

• 1 100 g
• x 500 g

Neste caso, é uma regra de três diretamente proporcional, porque conforme aumenta a quantidade de uma grandeza, a outra também terá que ser maior. Se é preciso um ovo para 100 gramas de farinha, ao usar mais farinha, serão necessários mais ovos.

Perceba que as grandezas iguais foram colocadas na mesma coluna. Quando a regra de três é diretamente proporcional, multiplicam-se as grandezas de forma cruzada, veja:

• 1 100 g => 100x= 500

• x 500 g x= 500/100 x=5

Por que a regra de três funciona?
Quando há uma relação de proporcionalidade direta, se as grandezas forem multiplicadas de forma cruzada, o resultado é o mesmo. Por exemplo: “Para um copo de suco concentrado, usam-se 4 de água, então para 2 copos de suco, deve-se usar 8 (ou x) de água:
A multiplicação cruzada resulta no mesmo número: 8! Por isso podemos descobrir o valor de x, quando não conhecemos uma das grandezas.

REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três é simples quando envolve quatro números (de duas grandezas diferentes), com uma relação de proporcionalidade entre eles, dos quais são conhecidos apenas 3. Essa relação de proporção pode ser direta ou inversa.

Para descobrir se a relação de proporção é direta ou inversa, pode-se marcar as colunas com setas laterais que apontem para onde a grandeza será maior.

Veja o exemplo para entender melhor:
Para produzir 12 pães, usa-se 1 quilo de farinha. Quantos quilos de farinha são necessários para produzir 18 pães?
Mantendo as grandezas na mesma coluna, distribuem-se os números desta forma:

• 1 12
• x 18
• 12x = 18 => x = => x = ou 1,5 quilo de farinha.

Para que a multiplicação seja cruzada, as setas devem apontar para o mesmo sentido. Por isso, no caso de ser uma relação de proporcionalidade inversa, inverte-se a ordem de uma coluna para poder fazer a multiplicação cruzada. Veja o exemplo:

Um trem a 400 km/h leva 3 h para fazer um determinado percurso. Quanto tempo levaria andasse a 480km/h?
Neste caso, as grandezas são inversamente proporcionais, já que se o trem aumentar a velocidade, o tempo de viagem vai diminuir:

• 400 3
• 480 x

Neste caso, inverte-se a ordem dos números em uma das colunas, para deixar as setas no mesmo sentido e fazer a multiplicação cruzada:

• 400 x
• 480 3
• 480x = 400 3
• x = 2,5 ou 2 horas e 30 minutos.

EXEMPLOS DE REGRA DE TRÊS SIMPLES

Direta
Para produzir 1,5 Kg de manteiga são necessários 7 litros de leite. Quantos litros de leite são necessários para produzir 9 Kg de manteiga?

• 1,5 7
• 9 x
• 1,5x = 9 7
• x =
• x= 42 litros

Inversa
Lendo 15 páginas por dia, Joana leu um livro em 4 dias. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto tempo ela terminaria de ler o livro?

• 15 4
• 6 x

Invertendo a ordem dos números na coluna do x, temos:

• 15 x
• 6 4

E podemos fazer a multiplicação cruzada:

• 6x = 15 4
• x=
• x = 10 dias

REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta é usada para cálculos com mais de duas grandezas, ou seja, quando há relação de proporcionalidade entre três ou mais grandezas. A regra de três composta também pode ser direta ou inversamente proporcional.

Veja o exemplo para entender melhor:
Em 6 dias de trabalho, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças serão produzidas por 7 operários em 9 dias? Extraindo os dados do enunciado, temos:

Dias

Operários

Peças

6

5

400

9

7

x

Neste exemplo, os valores são diretamente proporcionais. Assim, nenhuma coluna precisa ser invertida. Para resolução, isola-se a coluna do x e as outras colunas são multiplicadas como frações:

• 30x = 400 × 63
• x =
• x = 840 peças.

Veja um exemplo com grandezas inversamente proporcionais:
Em 8 horas, 20 caminhões transportam 160 m³ de mercadoria. Em 5 horas, quantos caminhões são necessários para transportar 125m³?

Horas

Caminhões

8

20

160

5

x

125

Pensando em relação ao x, concluímos que aumentando as horas de trabalho, o número de caminhões pode diminuir (inversamente proporcional). Seguindo o mesmo raciocínio, se o volume de mercadoria diminui, o número de caminhões também pode ser menor. Assim temos a distribuição das setas para fazer o cálculo, já isolando a coluna do x:

Assim temos a distribuição das setas para fazer o cálculo, já isolando a coluna do x:

Para poder resolver corretamente, é necessário que todas as setas estejam no mesmo sentido, então inverte-se a ordem na seta que está contrária ao x:

•  =
•  X = 25 caminhões.

Quando você tiver dúvida quanto à direção das setas, comece pelo x. Coloque uma seta em direção ao x e distribua as outras setas sempre pensando em relação ao x. Se são diretamente proporcionais a ele, setas para o mesmo sentido da seta do x. Se são inversamente proporcionais, setas em sentido contrário.

EXEMPLOS COM REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Direta
Uma televisão ligada apenas uma hora por dia, durante 20 dias, consome 10kw/h. Se a mesma televisão for usada durante 110 minutos por dia, quanto consumirá em 30 dias?

Neste caso, as grandezas são proporcionais. Extraindo os dados do problema, temos:

•  x= 27,5 kw/h.

Inversa
Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, quanto tempo 3 destas impressoras levariam para imprimir 2000 desses panfletos?
(A relação entre o tempo e o nº de impressoras é inversa, por isso inverteu-se a fração).

•  x= 160 minutos ou 2 horas e 40 minutos.

PASSO A PASSO PARA RESOLVER UM PROBLEMA COM REGRA DE TRÊS

1- Extrair corretamente os dados do problema:
A interpretação do enunciado é tão importante quanto a resolução do cálculo. De nada adianta um cálculo feito corretamente se os números estiverem fora da ordem. Por isso, saiba interpretar bem o que o enunciado diz.

2- Identificar a relação de proporção:
É muito importante verificar se a relação de proporcionalidade é direta ou inversa. Essa interpretação influencia muito no resultado. Lembre-se do uso das setas e use-as sempre em relação ao x.

3- Se for necessário, inverter a fração:
No caso de uma relação inversamente proporcional, inverta a fração para que as setas apontem todas para o mesmo sentido.

4- Isole o x, igualando-o ao produto das outras frações:
Desenvolva o cálculo que aprendeu: isole a fração onde o x está presente, multiplique as outras frações, que serão igualadas ao x.

WIDGET: Agora, basta desenvolver o cálculo que aprendeu: isole a fração onde o x está presente, multiplique as outras frações, que serão igualadas ao x. Seguindo esses passos, você pode usar a regra de três para resolver diversos tipos de problemas matemáticos. A regra de três pode ser útil até para calcular porcentagem!

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